Василий Якимкин - Вероятностные модели для рынка Форекс

Василий Якимкин - Вероятностные модели для рынка Форекс

Случайное блуждание цены на рынке FOREX во многом ограничивает прогнозы финансовых аналитиков. Поэтому теория детерминированного хаоса заняла прочное положение в финансовой науке и практике трейдинга. В настоящей статье продемонстрированы возможности использования вероятностных моделей рынка FOREX для минимизации риска в ожидаемой доходности портфеля валют, а также показан один из возможных способов численной оценки ожидаемой доходности и риска.

Теории рынка

Хаотичность движения курса исследуемой валюты на рынке FOREX на неглубоких инвестиционных горизонтах (с временной разверткой до daily включительно) во многом ограничивает прогностические возможности финансовых аналитиков. Наблюдается эффект бабочки – существенная зависимость эволюции цены от начальных условий [1]. Динамическая неустойчивость на валютном рынке (а, как следствие, и невозможность использования детерминированных прогнозов) является важным фактором, существенно увеличивающим риск операций на этом рынке. Но мы можем превратить этот недостаток в достоинство.

Современную теорию портфельных инвестиций обычно начинают с обзора важнейших идей Нобелевского лауреата Гарри Марковица [2]. Марковиц впервые разработал математическую модель оптимального портфеля ценных бумаг и проанализировал способы подбора такого портфеля при различных начальных условиях. Им была предложена вероятностная модель фондового рынка, включающая в себя такие базисные понятия, как доходность и риск. Тем самым удалось перевести проблему выбора оптимального подбора акций различных компаний на язык теории вероятности и по возможности точно решить эту, теперь уже математическую, задачу.

Чуть позднее идеи Марковица были несколько упрощены для практики Уильямом Шарпом, который предложил однофакторную модель рынка капиталов и впервые ввел всемирно известные альфа и бета характеристики акций. Это позволило в дальнейшем создать довольно многочисленные пакеты оптимизационных компьютерных задач по управлению портфелем акций.

Основной недостаток портфельной теории Марковица заключался в том, что эта теория была разработана только для акций, которые, как известно, являются довольно рисковым активом. Этот недоста-ток исправил Джеймс Тобин [3], который включил в анализ относи-тельно безрисковые активы – такие, как долгосрочные Т-бонды (государственные облигации) и депозитные вклады. По существу Тобин предложил проводить макроэкономические исследования оптимизации подбора портфеля ценных бумаг, причем, при размещении в относительно безрисковые активы не менее 40% от капитализации портфеля.

Логическим следствием наработок Марковица, Шарпа и Тобина было появление более современной теории CAPM (CapitalAssetPriceModel) – модели оценки активов капитала. Этой моделью широко пользуются инвесторы и по сей день.

Главным результатом CAPM является установление соотношения между доходностью и риском актива для равновесного рынка. Теория САРМ настоятельно рекомендует работать с диверсифицированным портфелем. При этом набор активов подбирается таким образом, что, хотя максимальная доходность и уменьшается, скажем, в n раз, но при этом степень риска может понизиться в n2 раз. В этом случае при оптимизации портфеля активов трейдер должен учитывать не весь риск, связанный с активом, а только часть его, так называемый систематический (или недиверсифицируемый) риск, выраженный коэффициентом бета и связанный с общим риском рынка в целом.

Остальная часть (так называемый несистематический, или диверсифицируемый риск) устраняется выбором соответствующих активов (как правило, на различных сегментах валютного рынка, скажем, спот-рынок FOREX и срочный рынок валютных фьючерсов и опционов). Характер связи между доходностью и риском имеет вид линейной зависимости.

Теория САРМ ответила на такой важнейший вопрос: «Допустим, что все участники рынка одинаково оценивают доходность и риск отдельных активов, обладают одной и той же информацией и руководствуются в своих решениях портфельной теорией Марковица. Как в этом случае сложатся рыночные цены на выбранные активы?». Очевидно, что в этом случае цены точно «лягут» на прямую зависимости доходности актива от его уровня риска.

Противовесом теории САРМ в моделировании взаимодействия риск/доходность явилась широко обсуждаемая в 80-е годы ХХ века теория АРМ (ArbitragePricingModel) – арбитражная модель рынка [4]. Эта модель базируется на постулате: в каждый момент времени на рынке соотношение риск/доходность должно быть таким, чтобы ни один трейдер не смог получать неограниченный доход от чисто арбитражной сделки. И, перефразируя известный принцип сохранения энергии, можно вывести своеобразный «закон рынка»: невозможно создать «финансовый вечный двигатель», то есть машину без всякого риска, неограниченно долго «выкачивающую» деньги с рынка [5].

Для более полного понимания функционирования рынка капитала около тридцати лет назад была предложена теория эффективного рынка (EfficientMarketHypothesis – EMH) [6]. В ней сравнивается «истинная» (оценочная) цена актива с рыночной ценой. Проблема в том, насколько и как часто рынок может недооценивать или переоценивать тот или иной актив. Трейдер, обнаруживший недооценки или переоценки рыночного актива, имел бы возможность безрискового получения прибыли. Гипотеза эффективности рынка говорит нам, что это невозможно. Ведь в курсе исследуемого актива заложена практически вся доступная участникам рынка информация. Отсюда следует, что наблюдаемые курсовые колебания должны происходить хаотично, и никто не может прогнозировать рыночные цены.

Теория ЕМН пытается объяснить статистическую структуру рынка, постулируя, что рынок имеет очень короткую память. То есть текущее изменение рыночной цены не подвержено влиянию тех изменений, которые происходили с ценой в предыдущие моменты времени, изменения цены стохастичны, и лучший прогноз на будущую цену должен делаться только по текущей цене. предложена теория эффективного рынка (EfficientMarketHypothesis – EMH) [6]. В ней сравнивается «истинная» (оценочная) цена актива с рыночной ценой. Проблема в том, насколько и как часто рынок может недооценивать или переоценивать тот или иной актив. Трейдер, обнаруживший недооценки или переоценки рыночного актива, имел бы возможность безрискового получения прибыли. Гипотеза эффективности рынка говорит нам, что это невозможно. Ведь в курсе исследуемого актива заложена практически вся доступная участникам рынка информация. Отсюда следует, что наблюдаемые курсовые колебания должны происходить хаотично, и никто не может прогнозировать рыночные цены.

Теория ЕМН пытается объяснить статистическую структуру рынка, постулируя, что рынок имеет очень короткую память. То есть текущее изменение рыночной цены не подвержено влиянию тех изменений, которые происходили с ценой в предыдущие моменты времени, изменения цены стохастичны, и лучший прогноз на будущую цену должен делаться только по текущей цене.

Эта теория является по существу атакой на технический анализ. Хотя некоторые ее выводы заметно коррелируют с техническим анализом. Например, она утверждает, что в текущей цене отражена вся доступная инвесторам информация (сравните с первым постулатом технического анализа) из-за перманентного проведения ими технического и фундаментального анализа.

Основным недостатком теории ЕМН является ее явное (по некоторым вопросам) расхождение с практикой. Так, в книгах Эдгара Петерса [6, 7] показано, что, согласно теории эффективного рынка, зависимость «частоты» изменения цены от ее волатильности на выбранном интервале времени должна совпадать с нормальным распределением. Однако на практике мы получаем частотные распределения, заметно отличные от нормального.

Оптимизация соотношения риск/доходность

В своей первой книге [8] я уже приводил примеры оценки вероятности движения валют – это довольно просто: из ста вхождений в рынок на основе моего набора технических индикаторов определял, сколько раз я правильно вошел, а сколько раз ошибся. Число правильных вхождений и будет показывать вероятность, с которой я могу прогнозировать этот рынок.

Современная портфельная теория позволяет формировать набор финансовых инструментов с любым заданным соотношением риск/доходность. Рассмотрим на конкретных примерах, как это реализуется.

1. Для определенности рассмотрим спот-рынок FOREX 1999 г. и выберем два актива: USD/JPY и EUR/JPY.

Рис. 1. Отношение доллара США к иене.

2. Предположим, что рынок в целом медвежий по обеим валютам (см. рис. 1). Данные по доходностям этих валют и по вероятностям состояний рынка приведены ниже в таблице. (Самое общепринятое определение годовой доходности: если в начале года на счете было 100, а в конце года – 130, то годовая доходность = (130-100)/100 = 30%):?Состояние s            Вероятность p(s)       Доходность USD/JPYR(1)%          Доходность EUR/JPYR(2)%

l           0.2       -5         +20

f          0.1       0          0

s          0.7       30        -5

где:

Long (l) – подъем рынка (доминирует бычий тренд);

Flat (f) – неопределенность на рынке;

Short (s) – падение рынка (на рынке доминируют медведи).

Допустим, ваш анализ рынка выбранных валют говорит (с вероятностью 0.7) в пользу медвежьего тренда. Тогда вы открываете короткую позицию по USD/JPY и хеджируетесь, открывая лонговую позицию по EUR/JPY. (В обоих случаях ордера стоп-лосса ставятся на уровне 5% от величины открытой позиции.)

Из таблицы видно, что, если рынок «сходит» вверх (с вероятностью 20% такого события), то вы потеряете 5% от суммы открытой позиции по USD/JPY (сработает ваш стоплосс-ордер), но вы заработаете 20%от суммы открытой позиции по EUR/JPY. Если же рынок останется во флэте, то с доходностью 0% по обеим валютам вы ничего не заработаете, но и не проиграете. При падении рынка (вероятность такого события равна 70%) вы заработаете 30% по первому активу и проиграете 5% по второму активу.

Вычислим ожидаемую доходность по USD/JPY:

E =vR(i) xp(i) [1, 8];

Е(1) = -5 х 0.2 +0 х 0.1 + 30 х 0.7 = 20%; a2 = (-5 -20)2 х 0.2 + (-20)2 х 0.1 + (30 - 20)2 х 0.7 = 235; a =15.33%. То есть только при продаже валюты USD/JPY наша ожидаемая доходность будет оцениваться в 20% при риске 15.33%.

Вычислим теперь ожидаемую доходность по EUR/JPY: Е(2) = 20 х 0.2 + 0 х 0.1 - 5 х 0.7 = 0.5%; a2 = (20 - 0.5)2 х 0.2 + 0.52 х 0.1 + (-5 - 0.5)2 х 0.7 = 97.71; a = 9.88%. То есть только при одной покупке валюты EUR/JPY наша ожидаемая доходность будет оцениваться в 0.5% при риске 9.88%.

Посмотрим теперь ожидаемую доходность при продаже доллара США против иены с одновременной покупкой евро против иены. Так как вероятность падения рынка в 3.5 раза выше вероятности его подъема, то ставить будем на продажу USD/JPY, а покупка EUR/JPY рассматривается как подстраховочный вариант (хеджирование).

Допустим, наш депозит составляет $30,000. Разделим его в соотношении 2:1, т.е. продаем $20,000 USD/JPY и тут же покупаем $10,000 EUR/JPY.

Вычислим ожидаемую доходность для трех различных вариантов развития событий на рынке:

Long: (20000 х (-0.05) + 10000 х 0.2)/30000 = 3.3%;

Flat: 0%;

Short: (20000 х 0.3 - 10000 х 0.05)/30000 = 18.33%.

Полученное распределение доходности в случае хеджирования второй валютой в соотношении 2:1 можно свести в таблицу:?R            3.3       0          18.33

p          0.2       0.1       0.7

Откуда можно вычислить ожидаемую доходность и риск для портфеля из этих двух валют при вхождении в рынок в заданном соотношении 2:1:

Е = 3.3 х 0.2 + 18.33 х 0.7 = 13.5%;

a2 = (3.3 -13.5)2 х 0.2 + 13.52 х 0.1 + (18.33 - 13.5)2 х 0.7 = 54.5; a = 7.4%. Мы видим, что при таком «парном» вхождении в рынок наша ожидаемая доходность смешанного портфеля активов равна 13.5%, что больше ожидаемой доходности по валюте EUR/JPY на 10.2% и меньше ожидаемой доходности по USD/JPY всего на 1.67%, тогда как риск портфеля понизился более чем в 2 раза по первому активу (USD/JPY) и чуть меньше чем в 1.4 раза – по второму.

Таким образом, на приведенном выше примере продемонстрирована возможность использования вероятностной модели рынка FOREX для существенной минимизации риска при небольших потерях в ожидаемой доходности портфеля активов, а также показан один из возможных способов численной оценки ожидаемой доходности и риска.

Литература:

Финансовый дилинг. Книга 1. / Якимкин В. Н. // М.: ИКФ Омега-Л, 2001.

Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investiment / Markowitz H. M. // N.Y.: Wiley, 1959.

The Theory of Portfolio Selection in F. H. Hahn and F.R.P. Brechling (eds), The Theory of Interest Rate. / Tobin J. // London, Macmillan, 1965, pp.3-51.

The Arbitrage Theory of Capital Asset Pricing / Ross S. A. // Journal of Economic Theory, Dec., 1976.

Основы теории оптимального портфеля ценных бумаг / Касимов Ю. Ф. // М.: Филинъ, 1998.

Chaos and Order in the Capital Market / Peters E. E. // N.Y.: Wiley, 1991.

Fractal Market Analysis. / Peters E. E. // N.Y.: Wiley, 1994.

Рынок Форекс – Ваш путь к успеху. / Якимкин В. Н. / М.: Светоч-Л, 1999.